Método de Gauss-Jordán
Es un método aplicable únicamente
a los sistemas lineales de ecuaciones, consiste en que a partir de la matriz
aumentada del sistema de ecuaciones (matriz de coeficientes y de términos
independientes), se halla otra matriz equivalente a la matriz aumentada mediante
operaciones elementales de fila y/o columna, hasta obtener ecuaciones de una
sola incógnita, cuyo valor será igual al coeficiente situado en la misma fila
de la matriz. La nueva matriz hallada puede ser una matriz identidad o una
matriz escalonada reducida por filas
La matriz de coeficientes no necesariamente debe ser una matriz
cuadrada, puede ser de cualquier tipo Con este procedimiento logramos las
soluciones de cada incógnita sin emplear la sustitución hacia atrás para
obtener la solución de las mismas. En el método de Gauss, a partir de la última
ecuación, se sustituye su solución en la anterior, realizando este proceso con
todas las ecuaciones, y se encuentra las soluciones. El método de Gauss-Jordán
permite encontrar las soluciones directamente
Ejemplo:
Resolver el
siguiente sistema de ecuaciones lineales mediante el método de Gauss- Jordán.
Solución:
a)
Escribimos la matriz aumentada del sistema.
Debemos llevar a dicha
matriz a su forma escalonada reducida mediante operaciones elementales en los
renglones de la matriz, para esto, escribiremos la matriz y a continuación una
flecha. Encima de esta flecha indicaremos la(s) operación(es) que estamos
efectuando para que el lector pueda seguir el desarrollo. Notación para las
operaciones elementales en renglones
b)
Desarrollo para obtener la forma escalonada reducida.
c)
Interpretación del resultado. La última matriz escalonada
reducida indica que: La solución del sistema es x = -1, y=2, z = 0
Definición de Sistema de Ecuaciones Lineales y matrices
Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas (SEL) y coeficientes en
un cuerpo K (como los reales o los complejos)
es
Donde
A los elementos ai , j se les denomina coeficientes del
SEL y a los bi términos
independientes.
Un ejemplo de un SEL
de dos ecuaciones y dos incógnitas es
El sistema de la
definición lo podemos expresar matricialmente como
Donde
Llamamos matriz de coeficientes a
la matriz A, matriz de términos independientes a b y matriz incógnita a X.
Definimos la matriz ampliada (o
completa) del sistema como la matriz compuesta por la matriz A a la izquierda y la b a la derecha, es decir
Ejemplo:
Que es una Matriz
Son herramientas del álgebra que facilitan el ordenamiento de datos, así
como su manejo. Los conceptos de matriz y todos los relacionados fueron
desarrollados básicamente en el siglo XIX por matemáticos como los ingleses
J.J. Sylvester y Arthur Cayley y el irland´es William Hamilton. Las matrices se
encuentran en aquellos ´ámbitos en los que se trabaja con datos regularmente
ordenados y aparecen en situaciones propias de las Ciencias Sociales ,
Económicas y Biológicas.
Matriz escalonada reducida por filas:
- todas las filas que consisten únicamente de ceros
(si existen) aparecen en la parte inferior de la matriz (parte de abajo).
- el primer número (si empezamos por la izquierda)
en cualquier fila que no consista de ceros es 1.
- si dos filas consecutivas no consisten de ceros,
entonces el primer 1 en la fila interior está más a la derecha que el
primer 1 de la fila superior.
- cualquier columna que contenga el primer 1 de una
fila tendrá ceros en los demás lugares.
Ejemplos de matrices escalonadas por filas:
Una matriz está en forma
escalonada si
cumple las primeras tres condiciones de la definición anterior.
Ejemplos de matrices en forma escalonada:
MATRIZ INVERSA
Dada una matriz A, ¿Podremos
encontrar otra matriz B tal que A·B=B·A=I?
Esta matriz B existe aunque no siempre, de existir se le llama matriz inversa de A y se nota A-1. Para que exista la inversa de A, ésta tiene que ser cuadrada pues de lo contrario no se podría hacer el producto por la izquierda y por la derecha, luego cuando hablamos de matrices invertibles estamos hablando de matrices cuadradas.
Esta matriz B existe aunque no siempre, de existir se le llama matriz inversa de A y se nota A-1. Para que exista la inversa de A, ésta tiene que ser cuadrada pues de lo contrario no se podría hacer el producto por la izquierda y por la derecha, luego cuando hablamos de matrices invertibles estamos hablando de matrices cuadradas.
Condición necesaria y
suficiente para que una matriz sea invertible es que no sea singular, es decir,
que su determinante sea no nulo |A| ≠ 0
Aplicación del Método Gauss-Jordan
Este método consiste en colocar junto a la
matriz de partida (A) la matriz identidad (I) y hacer operaciones por filas,
afectando esas operaciones tanto a A como a I, con el objeto de transformar la
matriz A en la matriz identidad, la matriz resultante de las operaciones sobre
I es la inversa de A (A-1).
Las operaciones que podemos hacer sobre las filas son:
a) Sustituir una fila por ella multiplicada por una constante, por ejemplo, sustituimos la fila 2 por ella multiplicada por 3.
b) Permutar dos filas
c) Sustituir una fila por una combinación lineal de ella y otras.
Las operaciones que podemos hacer sobre las filas son:
a) Sustituir una fila por ella multiplicada por una constante, por ejemplo, sustituimos la fila 2 por ella multiplicada por 3.
b) Permutar dos filas
c) Sustituir una fila por una combinación lineal de ella y otras.
La matriz inversa de A es
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